Encontre a solução geral de cada equação:
y^(4)+y^prime prime prime+y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) + y''' + y'' = 0
O conteúdo aqui é resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes usando a equação característica. Para resolver, vamos assumir y=e^rx, obter o polinômio característico, fatorá-lo, encontrar as raízes (reais e complexas) e então montar a solução geral como combinação linear das soluções elementares.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação diferencial, cada derivada y^(k) vira r^k e^rx. Logo a equação característica é
r^4 + r^3 + r^2 = 0

Passo 3

Para fatorar o polinômio, extraímos r^2:
r^2,(r^2 + r + 1) = 0

Passo 4

As raízes decorrem de cada fator:
  1. r^2=0 r=0 com multiplicidade 2.
  2. r^2 + r + 1=0 tem raízes complexas
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm iraiz32

Passo 5

Cada raiz gera uma solução fundamental:
  • Para r=0 dupla, as soluções são 1 e x.
  • Para r = -tfrac12 pm i,tfracraiz32, as soluções reais são
    e^-tfrac x2cosl(tfracraiz32xr) e
    e^-tfrac x2sinl(tfracraiz32xr).
    Portanto, a solução geral é
y(x) = C1 + C2,x + e^-tfrac x2l(C3cosl(tfracraiz32xr) + C4sinl(tfracraiz32xr)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + e^-tfrac x2l(C3cosl(tfracraiz32xr) + C4sinl(tfracraiz32xr)r)

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