Encontre a solução geral de cada equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes usando a equação característica. Para resolver, vamos assumir
, obter o polinômio característico, fatorá-lo, encontrar as raízes (reais e complexas) e então montar a solução geral como combinação linear das soluções elementares.
Passo 2
Substituindo
na equação diferencial, cada derivada
vira
. Logo a equação característica é
Passo 3
Para fatorar o polinômio, extraímos
:
Passo 4
As raízes decorrem de cada fator:
-
dá com multiplicidade 2. -
tem raízes complexas
Passo 5
Cada raiz gera uma solução fundamental:
- Para
dupla, as soluções são e . - Para
, as soluções reais são
e
.
Portanto, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.