Encontre a solução geral de cada equação:
y^(4)-2 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de quarta ordem
y^(4) - 2,y'' + y = 0
O conteúdo aqui é resolver equações com coeficientes constantes via polinômio característico.

Passo 2

Associamos à ODE o polinômio característico substituindo ysim e^r x, o que dá
r^4 - 2r^2 + 1 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
r^4 - 2r^2 + 1 = (r^2 - 1)^2 = 0
Isso mostra que r^2 = 1 é raiz dupla. Logo as raízes são
r = 1(mu<iplicidade 2), r = -1(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para cada raiz real r de multiplicidade m, as soluções independentes são
e^r x,, x e^r x,, x^2 e^r x,dots,x^m-1e^r x
Como as multiplicidades são 2 para r=1 e 2 para r=-1, obtemos quatro soluções independentes
e^x, x e^x, e^-x, x e^-x
Assim a combinação linear delas dá a solução geral.

Resposta

y(x) = C1e^x ;+; C2,x,e^x ;+; C3e^-x ;+; C4,x,e^-x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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