Encontre a solução geral de cada equação:
d^5 ud r^5+5 d^4 ud r^4-2 d^3 ud r^3-10 d^2 ud r^2+d ud r+5 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes
d^5udr^5 + 5d^4udr^4 - 2d^3udr^3 - 10d^2udr^2 + dudr + 5u = 0
O método padrão é assumir uma solução do tipo u(r)=e^mr e obter a equação característica em m.

Passo 2

Substituindo u(r)=e^mr e suas derivadas na equação, chegamos à equação característica
m^5 + 5m^4 - 2m^3 - 10m^2 + m + 5 = 0

Passo 3

Para fatorar o polinômio, agrupamos termos em função de (m+5):
m^5 + 5m^4 - 2m^3 - 10m^2 + m + 5 = m^4(m+5) - 2m^2(m+5) + 1,(m+5) = (m+5)l(m^4 - 2m^2 +1r)

Passo 4

Reconhecemos que
m^4 - 2m^2 +1 = (m^2-1)^2 = (m-1)^2(m+1)^2
Logo a fatoração completa é
(m+5),(m-1)^2,(m+1)^2=0,
de onde as raízes são
m=-5(simp<=s), m=1(mu<iplicidade 2), m=-1(mu<iplicidade 2)

Passo 5

Para cada raiz real de multiplicidade k a solução traz um termo da forma (C1+C2r+cdots+Ckr^k-1)e^mr. Assim, reunindo todas as raízes, a solução geral é
u(r) = C1e^-5r + l(C2+C3,rr)e^r + l(C4+C5,rr)e^-r,
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

Resposta

u(r) = C1e^-5r + l(C2+C3,rr)e^r + l(C4+C5,rr)e^-r

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