In Problems 25 and 26 solve the given third-order differential equation by variation of parameters.
y^prime prime prime+4 y^prime=sec 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem
y'''+4y'=sec2x
usando variação de parâmetros.
Conteúdo: equação linear com coeficientes constantes, solução geral = solução da homogênea + solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da homogênea
y'''+4y'=0
A equação característica é
r^3+4r=0Longrightarrow r(r^2+4)=0;Rightarrow;r=0,;r=pm2i
Logo uma base de soluções é
y1=1, y2=cos2x, y3=sin2x

Passo 3

Procuramos uma particular da forma
yp=u1(x),y1+u2(x),y2+u3(x),y3
com as condições
u1'y1+u2'y2+u3'y3=0, u1'y1'+u2'y2'+u3'y3'=0, u1'y1''+u2'y2''+u3'y3''=sec2x

Passo 4

Calculamos as derivadas das soluções fundamentais:
y1=1;Rightarrow;y1'=0,;y1''=0,
y2=cos2x;Rightarrow;y2'=-2sin2x,;y2''=-4cos2x,
y3=sin2x;Rightarrow;y3'=2cos2x,;y3''=-4sin2x
Substituindo no sistema obtemos:
u1'+u2'cos2x+u3'sin2x=0, -2u2'sin2x+2u3'cos2x=0, -4u2'cos2x-4u3'sin2x=sec2x
Da segunda equação vem
-,u2'sin2x+u3'cos2x=0;Rightarrow;u3'=;u2'tan2x
Na primeira:
u1'+u2'l(cos2x+tan2x,sin2xr)=u1'+u2'sec2x=0 ;Rightarrow;u1'=-u2'sec2x
Na terceira:
u2'sec2x=-sec2x4 ;Rightarrow;u2'=-14,
de onde
u3'=-14tan2x, u1'=-(-tfrac14)sec2x=14sec2x

Passo 5

Integramos cada ui' (constants absorbidos em C1,C2,C3 da homogênea):
u1=integral14sec2x,dx =14cdot12lnl|sec2x+tan2xr| =18lnl|sec2x+tan2xr|,
u2=integral!-14,dx=- x4,
u3=integral!-14tan2x,dx =-14cdotl(-tfrac12r)lnl|cos2xr| =18lnl|cos2xr|

Passo 6

A solução particular é
yp =u1cdot1+u2cos2x+u3sin2x =18lnl|sec2x+tan2xr| -x4cos2x +18sin2x,lnl|cos2xr|
Portanto a solução geral é
y=C1+C2cos2x+C3sin2x +18lnl|sec2x+tan2xr| -x4cos2x +18sin2xlnl|cos2xr|

Resposta

y=C1+C2cos2x+C3sin2x +18lnl|sec2x+tan2xr| -x4cos2x +18sin2xlnl|cos2xr|

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