Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se sumn=1^infty an diverge, então sumn=1^infty an^2 diverge. (F)

Passo 1

O enunciado afirma que se sumn=1^inftyan diverge então sumn=1^inftyan^2 também diverge. O conteúdo é séries numéricas e testes de convergência, em particular o teste da p-série.

Passo 2

Para refutar a afirmação, basta encontrar uma sequência (an) tal que sum an diverge mas sum an^2 converge.

Passo 3

Considere
an = 1n
Então
sumn=1^inftyan = sumn=1^infty1n
é a série harmônica, que é bem conhecido divergir.

Passo 4

Por outro lado,
sumn=1^inftyan^2 = sumn=1^infty1n^2
é uma p-série com p=2>1, portanto converge.

Passo 5

Esse exemplo mostra que a hipótese é falsa: existe uma série sum an divergente cuja série quadrática sum an^2 converge.

Resposta

F

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