Encontre a solução geral de cada equação diferencial, sendo conhecida uma solução particular.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
Para resolver usamos a transformação clássica para Riccati:
que reduz a equação a uma equação linear em
.
Passo 2
Fazendo
temos
Substituindo em
e cancelando
de ambos os lados, obtemos após multiplicar por
Agora escrevemos
em termos de
, simplificamos e achamos
Passo 3
A equação em
é linear de coeficientes variáveis:
O fator integrante é
Multiplicando por
e integrando,
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 4
Voltando à transformação
, obtemos
Como
é arbitrário, podemos redefini-lo via
para escrever a solução geral de forma mais simples.
Resposta
onde
é a constante arbitrária de integração.