Encontre a solução geral de cada equação diferencial, sendo conhecida uma solução particular.
y^prime=-1x^2-yx+y^2, y1(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
y' = -1x^2 - yx + y^2,
sabendo que uma solução particular é
y1(x) = 1x
Para resolver usamos a transformação clássica para Riccati:
y(x) = y1(x) + 1u(x),
que reduz a equação a uma equação linear em u.

Passo 2

Fazendo
y = 1x + 1u,
temos
y' = -1x^2 ;-;u'u^2
Substituindo em y' = -tfrac1x^2 - tfracyx + y^2 e cancelando -1/x^2 de ambos os lados, obtemos após multiplicar por u^2
-,u' = -,u^2,yx + u^2,y^2
Agora escrevemos y em termos de u, simplificamos e achamos
u' + 1x,u = -1

Passo 3

A equação em u é linear de coeficientes variáveis:
u' + 1x,u = -1
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 1x,dxr) = x
Multiplicando por mu e integrando,
ddxl(u,xr) = -,x Longrightarrow u,x = -x^22 + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u(x) = -x2 + Cx

Passo 4

Voltando à transformação y = tfrac1x + tfrac1u, obtemos
y(x) = 1x + 1-tfracx2 + tfracCx = 1x + 2,x2,C - x^2 = 1x - 2,xx^2 - 2,C
Como C é arbitrário, podemos redefini-lo via K=2C para escrever a solução geral de forma mais simples.

Resposta

boxedy(x) = 1x ;-;2,xx^2 - K,
onde K é a constante arbitrária de integração.

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