lim x 0 e^x-1-xx^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
L = limxto 0 e^x-1 - xx^2
Isso envolve cálculo de limites de forma indeterminada 0/0. Vamos usar a expansão em série de Taylor de e^x em torno de x=0 para resolver de forma direta.

Passo 2

A expansão de Taylor de e^x em torno de 0 até a ordem x^2 é
e^x = 1 + x + x^22 + O(x^3)
Subtraindo 1 + x de ambos os lados, obtemos
e^x - 1 - x = x^22 + O(x^3)

Passo 3

Dividindo pela x^2 e observando o comportamento quando xto0,
e^x - 1 - xx^2 = x^22 + O(x^3)x^2 = 12 + O(x)
Ao tomar xto0, o termo O(x) some, ficando
L = 12

Resposta

12

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