( 1,5 pontos) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial
e faça uma análise breve sobre o comportamento das soluções baseado no campo de direções.
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da equação diferencial
e, a partir dele, fazermos uma análise qualitativa do comportamento das soluções. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem, autonômas, e vamos usar a definição de campo de direções
e a noção de ponto de equilíbrio.
Passo 2
Para montar o campo de direções, note que em cada ponto
a inclinação é
que depende somente de
. Escolhemos algumas faixas de
e esboçamos pequenos segmentos de reta com essa inclinação:
Repetimos para vários valores de
e em vários valores de
, colocando pequenos traços que mostram para onde a solução tende a ir localmente.
Passo 3
O ponto de equilíbrio vem de
, ou seja,
Como a função
satisfaz
, esse equilíbrio é estável (atrai soluções).
Passo 4
Da forma geral da solução,
vemos que, quando
, o termo
e todas as curvas se aproximam de
. No campo de direções isso aparece como flechas acima de
apontando para baixo e abaixo apontando para cima, todas convergindo para a linha horizontal
. Assim, qualquer solução tende exponencialmente a
.
Resposta
O campo de direções é formado por segmentos de reta em cada
com inclinação
, notando-se linha horizontal de equilíbrio em
. Todas as soluções convergem exponencialmente para
, pois esse ponto de equilíbrio é estável.