( 1,5 pontos) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial y^{\prime}=-2 y+1 e faça uma análise breve sobre o comportamento das soluções baseado no campo de direções.

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o campo de direções da equação diferencial
y' = -2\,y + 1
e, a partir dele, fazermos uma análise qualitativa do comportamento das soluções. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem, autonômas, e vamos usar a definição de campo de direções y'=f(y) e a noção de ponto de equilíbrio.

Passo 2

Para montar o campo de direções, note que em cada ponto (x,y) a inclinação é
m = y' = -2\,y + 1,
que depende somente de y. Escolhemos algumas faixas de y e esboçamos pequenos segmentos de reta com essa inclinação:
\begin{aligned} \text{Se }y=0,\;&m = -2\cdot 0 + 1 = 1\quad(\text{reta subindo com ângulo }45^\circ),\\\ \text{se }y=\tfrac12,\;&m = -2\cdot\tfrac12 + 1 = 0\quad(\text{reta horizontal}),\\\ \text{se }y=1,\;&m = -2\cdot1 + 1 = -1\quad(\text{reta descendo com ângulo }45^\circ),\\\ \text{se }y=2,\;&m = -2\cdot2 + 1 = -3\quad(\text{reta bem íngreme descendo}). \end{aligned}ââí
Repetimos para vários valores de y e em vários valores de x, colocando pequenos traços que mostram para onde a solução tende a ir localmente.

Passo 3

O ponto de equilíbrio vem de y'=0, ou seja,
-2\,y + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac12.
Como a função f(y) = -2y + 1 satisfaz f'(y) = -2<0, esse equilíbrio é estável (atrai soluções).

Passo 4

Da forma geral da solução,
y(x) = C\,e^{-2x} + \tfrac12,
vemos que, quando x\to+\infty, o termo C\,e^{-2x}\to0 e todas as curvas se aproximam de y=\tfrac12. No campo de direções isso aparece como flechas acima de y=\tfrac12 apontando para baixo e abaixo apontando para cima, todas convergindo para a linha horizontal y=\tfrac12. Assim, qualquer solução tende exponencialmente a y=\tfrac12.

Resposta

O campo de direções é formado por segmentos de reta em cada (x,y) com inclinação \,-2y+1, notando-se linha horizontal de equilíbrio em y=\tfrac12. Todas as soluções convergem exponencialmente para y=\tfrac12, pois esse ponto de equilíbrio é estável.

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