a) (1,5 pt) Seja a função de período 2 , tal que para . Determine a série de Fourier de .
b) ( ) Seja a função de período 2 , tal que para , e para . Determine a série de Fourier de . Esta série converge para , para todo ?
Sugestão para o item(b): que relação existe entre e ?
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período de
em ,
em e em .
Para resolver, usamos a forma geral da série de Fourier para função de período :
com
Como é par, teremos .
Passo 2
Cálculo de para :
Logo o termo constante é tfraca02=tfrac12.
Passo 3
Cálculo de an para n>=1:
an =integral-1^1|x|cos(npi x),dx =2integral0^1xcos(npi x),dx
Logo podemos obter a série de derivando termo a termo a série de :
Isso dá
Passo 6
Sobre convergência da série de g:
Para xneq m, minZ, g é contínua e a série converge pontualmente a g(x).
Nos pontos de descontinuidade x=m, a série converge ao valor médio tfrac(-1)+12=0, que difere de g(m)=pm1.
Portanto a série não converge a g(x) nesses pontos de salto.
Resposta
a) f(x)=|x| =12 -4pi^2 sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2
b) g(x) =4pi sumk=0^inftysinl((2k+1)pi xr)2k+1,
que converge pontualmente a g(x) para todo xneq m, minZ, e nos pontos de descontinuidade converge a 0neq g(m).