a) (1,5 pt) Seja f: R R a função de período 2 , tal que f(x)=|x| para -1 <= x <= 1. Determine a série de Fourier de f.
b) ( 1,0 pt ) Seja g: R R a função de período 2 , tal que g(x)=-1 para -1<x <= 0, e g(x)=1 para 0<x <= 1. Determine a série de Fourier de g. Esta série converge para g(x), para todo x in R ?
Sugestão para o item(b): que relação existe entre f e g ?

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2 de
  • f(x)=|x| em [-1,1],
  • g(x)=-1 em -1<x<=0 e g(x)=1 em 0<x<=1.
    Para resolver, usamos a forma geral da série de Fourier para função de período 2:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r),
com
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx
Como f é par, teremos bn=0.

Passo 2

Cálculo de a0 para f(x)=|x|:
a0=integral-1^1|x|,dx =2integral0^1x,dx =2cdotx^22|0^1 =1
Logo o termo constante é tfraca02=tfrac12.

Passo 3

Cálculo de an para n>=1:
an =integral-1^1|x|cos(npi x),dx =2integral0^1xcos(npi x),dx
Usando integração por partes,
integral0^1xcos(npi x),dx =(-1)^n-1n^2pi^2
Portanto
an =2cdot(-1)^n-1n^2pi^2 =2l((-1)^n-1r)n^2pi^2
Note que para n par ,an=0, e para n=2k+1 ímpar
a2k+1 =2l(-1-1r)(2k+1)^2pi^2 =-4(2k+1)^2pi^2

Passo 4

Montando a série de Fourier de f:
f(x)=|x| =12 +sumn=1^inftyancos(npi x) =12 -4pi^2 sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2

Passo 5

Para
que coincide com a derivada de para ).
Logo podemos obter a série de derivando termo a termo a série de :
Isso dá

Passo 6

Sobre convergência da série de g:
  • Para xneq m, minZ, g é contínua e a série converge pontualmente a g(x).
  • Nos pontos de descontinuidade x=m, a série converge ao valor médio tfrac(-1)+12=0, que difere de g(m)=pm1.
    Portanto a série não converge a g(x) nesses pontos de salto.

Resposta

a) f(x)=|x| =12 -4pi^2 sumk=0^inftycosl((2k+1)pi xr)(2k+1)^2
b) g(x) =4pi sumk=0^inftysinl((2k+1)pi xr)2k+1,
que converge pontualmente a g(x) para todo xneq m, minZ, e nos pontos de descontinuidade converge a 0neq g(m).

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