(a) Resolva o problema de condução de calor:
b) Calcule
lim x infty u(x, t) , onde
u(x, t) é a solução do item (a).
Passo 1
O problema é a equação do calor unidimensional
com condições de contorno de Neumann
e condição inicial
O método é separação de variáveis e expansão em série de Fourier-cosseno.
Passo 2
Procuramos soluções do tipo
u(x,t)=X(x),T(t) . Substituindo na equação do calor:
Obtemos o problema de autovalores para
X :
As soluções não-triviais surgem para
com autofunções
Passo 3
Para cada
lambdan a equação de
T é
Logo, a solução geral satisfazendo as C.C. de Neumann é
Passo 4
Determinamos os coeficientes
Cn impondo
u(x,0)=x .
Paran=0 :
Para
Para
n>=1 :
Calculamos
portanto
Passo 5
Assim a solução fica
Passo 6
O item (b) pede
limxtoinftyu(x,t) , mas
u está definido só em
0<= x<=1 .
Provavelmente quis-selimttoinftyu(x,t) . Nesse caso, todos os termos da soma decaem exponencialmente e resta
Provavelmente quis-se
Resposta
(a)
(b)
limttoinftyu(x,t)=tfrac12