(a) Resolva o problema de condução de calor:
l ux x=ut, 0<x<1, t>0 ux(0, t)=ux(1, t)=0, t>0 u(x, 0)=x, 0<x<1
b) Calcule lim x infty u(x, t), onde u(x, t) é a solução do item (a).

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional
uxx=ut, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno de Neumann
ux(0,t)=ux(1,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=x, 0<x<1
O método é separação de variáveis e expansão em série de Fourier-cosseno.

Passo 2

Procuramos soluções do tipo u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na equação do calor:
X''(x),T(t)=X(x),T'(t) Longrightarrow X''(x)X(x)=T'(t)T(t)=-lambda
Obtemos o problema de autovalores para X:
X''+lambda X=0, X'(0)=0,;X'(1)=0
As soluções não-triviais surgem para
lambdan=n^2pi^2, n=0,1,2,dots
com autofunções
X0(x)=1, Xn(x)=cos(npi x);(n>=1)

Passo 3

Para cada lambdan a equação de T é
T'(t)=-lambdanT(t) Longrightarrow Tn(t)=e^-lambdant
Logo, a solução geral satisfazendo as C.C. de Neumann é
u(x,t) = C0 + sumn=1^inftyCn,e^-n^2pi^2t,cos(npi x)

Passo 4

Determinamos os coeficientes Cn impondo u(x,0)=x.
Para n=0:
C0 =integral0^1x,dx =tfrac12
Para n>=1:
Cn =2integral0^1xcos(npi x),dx
Calculamos
integral0^1xcos(npi x),dx =[xsin(npi x)npi]0^1 +[cos(npi x)n^2pi^2]0^1 =(-1)^n-1n^2pi^2,
portanto
Cn =2;(-1)^n-1n^2pi^2 = 0,&n par, -dfrac4n^2pi^2,&n ímpar í

Passo 5

Assim a solução fica
u(x,t) =tfrac12 -sumk=0^infty 4(2k+1)^2pi^2 ,e^-(2k+1)^2pi^2t ,cosl((2k+1)pi xr)

Passo 6

O item (b) pede limxtoinftyu(x,t), mas u está definido só em 0<= x<=1.
Provavelmente quis-se limttoinftyu(x,t). Nesse caso, todos os termos da soma decaem exponencialmente e resta
limttoinftyu(x,t)=tfrac12

Resposta

(a)
u(x,t) =tfrac12 -sumk=0^infty 4(2k+1)^2pi^2 ,e^-(2k+1)^2pi^2t ,cosl((2k+1)pi xr)
(b)
limttoinftyu(x,t)=tfrac12

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