Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x-y) y^prime=x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(x - y),dydx = x + y
e pede a solução geral. Observamos que o lado direito
x+yx-y
é função homogênea de x e y (grau zero), então vamos usar a substituição
y = u,x

Passo 2

Aplicando y = u,x, temos
dydx = u + x,dudx
Substituindo na equação original:
(x - u x)l(u + xdudxr) = x + u x Longrightarrow x(1 - u)l(u + xdudxr) = x(1 + u)
Dividindo por xneq0:
(1 - u)l(u + xdudxr) = 1 + u

Passo 3

Desenvolvendo e isolando du/dx:
u(1 - u) + x(1 - u)dudx = 1 + u Longrightarrow x(1 - u)dudx = 1 + u - u + u^2 = 1 + u^2
Logo
dudx = 1 + u^2(1 - u),x
Esta forma permite separar variáveis:
1 - u1 + u^2,du = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1 - u1 + u^2,du = integral dxx
No membro esquerdo:
integral11+u^2,du - integralu1+u^2,du = arctan(u) - 12lnl(1+u^2r)
No direito:
integral dxx = lnlvert xrvert + C
Portanto
arctan(u) - 12lnl(1+u^2r) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando a u = y/x, e usando
lnlvert xrvert + 12lnl(1+(y/x)^2r) = 12lnl(x^2+y^2r),
obtemos a forma implícita da solução geral:
arctan!l(tfracyxr);-;12lnl(x^2+y^2r)=C

Resposta

boxedarctan!l(tfracyxr);-;tfrac12lnl(x^2+y^2r)=C,
onde C é constante arbitrária.

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