Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Observamos que o lado direito
é função homogênea de
e
(grau zero), então vamos usar a substituição
Passo 2
Aplicando
, temos
Substituindo na equação original:
Dividindo por
:
Passo 3
Desenvolvendo e isolando
:
Logo
Esta forma permite separar variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No membro esquerdo:
No direito:
Portanto
Passo 5
Voltando a
, e usando
obtemos a forma implícita da solução geral:
Resposta
onde
é constante arbitrária.