Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x(x+y) y^prime=y(x-y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,(x+y),y' ;=; y,(x-y)
que é de primeira ordem e homogênea (o quociente tfracy(x-y)x(x+y) depende apenas de y/x). Para resolver, vamos usar a substituição
v = yx,
de modo que y = v,x.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em forma explícita para y':
y' ;=;y,(x-y)x,(x+y)
Como y = v,x, temos
y' = ddx(v,x) = v + x,dvdx
Também substituindo na razão do lado direito:
y,(x-y)x,(x+y) = (v,x),l(x - v,xr)x,(x + v,x) = v,x,x,(1 - v)x,x,(1+v) = v(1-v)1+v
Logo a equação vira
v + x,dvdx ;=;v(1-v)1+v

Passo 3

Isolando dvdx:
x,dvdx = v(1-v)1+v ;-; v = v(1-v) - v(1+v)1+v = -2,v^21+v
Portanto
dvdx = -,2,v^2(1+v),x

Passo 4

Agora separamos as variáveis:
1+vv^2,dv = -2,dxx
Integramos ambos os lados:
integral!l(v^-2+v^-1r),dv = integral -2,x^-1,dx Longrightarrow l(-v^-1 + ln|v|r) = -2,ln|x| + C

Passo 5

Reescrevendo
-,1v ;+;ln|v| ;+;2ln|x| = C
Note que ln|v| + 2ln|x| = ln|x^2,v| e x^2,v = x^2,(y/x)=x,y, além de tfrac1v = tfracxy. Assim obtemos a solução implícita
lnl|x,yr| ;-;xy = C,
que é a forma geral da família de soluções.

Resposta

boxedlnl|x,yr| ;-;xy = C

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