Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é de primeira ordem e homogênea (o quociente
depende apenas de
). Para resolver, vamos usar a substituição
de modo que
.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação em forma explícita para
:
Como
, temos
Também substituindo na razão do lado direito:
Logo a equação vira
Passo 3
Isolando
:
Portanto
Passo 4
Agora separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Reescrevendo
Note que
e
, além de
. Assim obtemos a solução implícita
que é a forma geral da família de soluções.