Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x+2 y) y^prime=y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
(x + 2y),y' = y
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos usar a técnica de trocar as variáveis e tratar x como função de y, transformando em uma equação linear em x(y).

Passo 2

Escrevendo y' = dfracdydx, a equação fica
dydx = yx + 2y
Invertendo a derivada, obtemos
dxdy = x + 2yy = xy + 2,
que é uma equação linear em x(y) do tipo
dxdy - 1y,x = 2

Passo 3

Para resolver
dxdy - 1yx = 2,
identificamos o coeficiente de x como -tfrac1y. O fator integrante é
mu(y) = expl(-integral tfrac1y,dyr) = exp(-ln|y|) = 1y

Passo 4

Multiplicando a equação por tfrac1y, vem
1y,dxdy - 1y^2x = 2y
O lado esquerdo é dfracddyl(tfracxyr), então
ddyl(xyr) = 2y
Integrando em y,
xy = 2ln|y| + C,
com C constante de integração.

Passo 5

Isolando x, a solução geral implícita é
x = yl(2ln|y| + Cr),
ou, mais compacta,
xy - 2ln|y| = C

Resposta

A solução geral é
xy - 2ln|y| = C,
onde C é uma constante arbitrária.

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