Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos usar a técnica de trocar as variáveis e tratar
como função de
, transformando em uma equação linear em
.
Passo 2
Escrevendo
, a equação fica
Invertendo a derivada, obtemos
que é uma equação linear em
do tipo
Passo 3
Para resolver
identificamos o coeficiente de
como
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a equação por
, vem
O lado esquerdo é
, então
Integrando em
,
com
constante de integração.
Passo 5
Isolando
, a solução geral implícita é
ou, mais compacta,
Resposta
A solução geral é
onde
é uma constante arbitrária.