Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Este tipo de equação sugere usar a substituição para funções homogêneas, pois o membro direito é soma de termos de mesmo grau se dividirmos por
.
Passo 2
Colocamos a equação em forma explícita para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Reconhecemos que a equação é homogênea de grau zero em
e
, pois a razão
depende apenas da razão
. Então fazemos a troca
onde
.
Passo 4
Calculamos
via produto:
Substituindo em
e usando
:
Cancelando
de ambos os lados:
Passo 5
Esta é uma equação de variáveis separáveis em
e
:
Integramos ambos os lados:
onde
C é constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
y=xv , temos
v=yx , logo
com
C1=3C . Multiplicando por
x^3 :
Resposta
onde
C é constante arbitrária.