Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x y^2 y^prime=x^3+y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x,y^2,dydx=x^3+y^3
Este tipo de equação sugere usar a substituição para funções homogêneas, pois o membro direito é soma de termos de mesmo grau se dividirmos por x,y^2.

Passo 2

Colocamos a equação em forma explícita para dydx dividindo ambos os lados por x,y^2:
dydx=x^3+y^3x,y^2 =x^3x,y^2+y^3x,y^2 =x^2y^2+yx

Passo 3

Reconhecemos que a equação é homogênea de grau zero em x e y, pois a razão dydx depende apenas da razão y/x. Então fazemos a troca
y=x,v(x),
onde v=v(x).

Passo 4

Calculamos dydx via produto:
dydx=v + x,dvdx
Substituindo em dydx=x^2y^2+yx e usando y=x,v:
v + xdvdx =x^2(xv)^2+xvx =1v^2+v
Cancelando v de ambos os lados:
xdvdx=1v^2

Passo 5

Esta é uma equação de variáveis separáveis em v e x:
v^2,dv=dxx
Integramos ambos os lados:
integral v^2,dv=integraldxx Longrightarrow v^33=lnl|xr|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original y=xv, temos v=yx, logo
13l(yxr)^3=lnl|xr|+C Longrightarrow l(yxr)^3=3lnl|xr|+C1,
com C1=3C. Multiplicando por x^3:
y^3=x^3l(3lnlvert xrvert +C1r)

Resposta

boxedy^3=x^3l(3lnlvert xrvert +Cr),
onde C é constante arbitrária.

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