Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x^2 y^prime=x y+x^2 e^y / x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2y' = x,y + x^2e^y/x
e pede a solução geral. Aqui vamos usar a substituição v=y/x, que costuma funcionar quando aparecem termos em y/x.

Passo 2

Primeiro dividimos ambos os lados por x^2 (supondo xneq0) para obter
y' = yx + e^y/x

Passo 3

Definimos v=yx. Então y = x,v e, por derivar por x,
y' = v + x,dvdx

Passo 4

Substituindo em y' = yx + e^y/x temos
v + xdvdx = v + e^v
e, simplificando,
xdvdx = e^v

Passo 5

Agora separamos variáveis:
dve^v = dxx

Passo 6

Integramos dos dois lados:
integral e^-v,dv = integral dxx Longrightarrow -,e^-v = lnlvert xrvert + C1

Passo 7

Voltando a v=y/x, escrevemos a solução de forma implícita:
-,e^-y/x = lnlvert xrvert + C1 Long<=ftrightarrow e^-y/x + lnlvert xrvert = C,
onde C=-C1 é a constante geral.

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
e^-y/x + lnlvert xrvert = C,
ou explicitamente
y = -,x,lnl(C - lnlvert xrvertr),
com C constante arbitrária.

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