Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Aqui vamos usar a substituição
, que costuma funcionar quando aparecem termos em
.
Passo 2
Primeiro dividimos ambos os lados por
(supondo
) para obter
Passo 3
Definimos
. Então
e, por derivar por
,
Passo 4
Substituindo em
temos
e, simplificando,
Passo 5
Agora separamos variáveis:
Passo 6
Integramos dos dois lados:
Passo 7
Voltando a
, escrevemos a solução de forma implícita:
onde
é a constante geral.
Resposta
A solução geral pode ser dada implicitamente por
ou explicitamente
com
constante arbitrária.