Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x^2 y^prime=x y+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2y' = x,y + y^2
Este tipo de equação pode ser tratada como homogênea em y ou como uma Bernoulli. Vamos primeiro reescrevê-la em forma padrão para identificar a dependência em y/x.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^2 (supondo xneq0), obtemos
y' = x,y + y^2x^2 = yx + gl(yxgr)^2

Passo 3

Como o lado direito é função de y/x, fazemos a substituição
v = yx,
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y = x,v e y' = v + x,dvdx

Passo 4

Substituindo em y' = y/x + (y/x)^2
v + x,dvdx = v + v^2 Longrightarrow x,dvdx = v^2 Longrightarrow dvv^2 = dxx,
que é uma equação separável.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral !v^-2dv = integral !x^-1dx Longrightarrow -,1v = lnlvert xrvert + C
Isolando v, escrevemos
1v = -,lnlvert xrvert + C1 Longrightarrow v = 1C1 - lnlvert xrvert

Passo 6

Voltando à variável original y = x,v, obtemos a solução geral
y(x) = xC - lnlvert xrvert,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = xC - lnlvert xrvert, CinR

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