Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x^2-y^2) y^prime=2 x y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
l(x^2-y^2r),y' ;=;2xy
Este é um caso de equação homogênea (o quociente à direita depende apenas de y/x). Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
de modo que v é função de x.

Passo 2

Isolamos y' e reconhecemos a homogeneidade:
dydx ;=;2xy,x^2-y^2, ;=; 2x,(v x),x^2-(v x)^2, ;=; 2v,1-v^2,
Como y = v x, também vale
dydx ;=;v + xdvdx
Igualando as duas expressões, obtemos a equação para v(x).

Passo 3

Substituindo em v + xdvdx = 2v1-v^2, temos
xdvdx ;=; 2v1-v^2;-;v ;=; 2v - v(1-v^2),1-v^2, ;=; v(1+v^2),1-v^2,
Isso já está pronto para separar variáveis.

Passo 4

Separamos as variáveis v e x:
1-v^2,v(1+v^2),,dv ;=; dxx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 5

Calcule as integrais:
integral1-v^2v(1+v^2),dv ;=; integrall(1v - 2v1+v^2r)dv ;=; ln|v| ;-;lnl(1+v^2r),
integraldxx ;=; ln|x| + C
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ln|v|1+v^2 ;=; ln|x| + C ;Longrightarrow; v,1+v^2, = K,x,
onde K=e^C é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando a v=y/x,
tfracyx,1+l(tfracyxr)^2, =K,x ;Longrightarrow; y/x(x^2+y^2)/x^2 =K,x ;Longrightarrow; yx^2+y^2 =K
É a forma implícita da solução geral.

Resposta

boxed yx^2 + y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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