Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso de equação homogênea (o quociente à direita depende apenas de
). Para resolver, vamos usar a substituição
de modo que
é função de
.
Passo 2
Isolamos
e reconhecemos a homogeneidade:
Como
, também vale
Igualando as duas expressões, obtemos a equação para
.
Passo 3
Substituindo em
, temos
Isso já está pronto para separar variáveis.
Passo 4
Separamos as variáveis
e
:
Agora integramos ambos os lados.
Passo 5
Calcule as integrais:
Logo
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando a
,
É a forma implícita da solução geral.
Resposta
onde
é constante arbitrária.