Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
y y^prime+x=raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y,dydx+x=raizx^2+y^2
Vamos usar a observação de que y,dy + x,dx é a diferencial de tfrac12(x^2+y^2) e depois fazer a substituição r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx obtemos
y,dy + x,dx = raizx^2+y^2,dx
O lado esquerdo é justamente
y,dy + x,dx = d(x^2+y^2)2

Passo 3

Defina r=raizx^2+y^2. Então r^2=x^2+y^2 e
d(x^2+y^2)2 = d(r^2)2 = r,dr
A equação vira
r,dr = r,dx,
e, para rneq0, divide-se por r dando
dr = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dr = integral dx Longrightarrow r = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, r=raizx^2+y^2, obtemos a solução implícita
raizx^2+y^2 = x + C

Resposta

raizx^2+y^2-x = C, onde C é a constante de integração.

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