Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x(x+y) y^prime+y(3 x+y)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
x(x+y)dydx+y(3x+y)=0
Esse tipo de equação é homogênea em x e y, pois o quociente y/x aparece de forma racional. Para resolver, vamos usar a substituição
v = yx, y = v,x, dydx = v + xdvdx

Passo 2

Substituindo na equação original:
xl(x+vxr)l(v + xdvdxr) + vxl(3x+vxr)=0
Como x+vx = x(1+v) e 3x+vx=x(3+v), isso vira
xcdot x(1+v)l(v + xdvdxr) + vxcdot x(3+v)=0
Dividindo por x^2:
(1+v)l(v + xdvdxr) + v(3+v)=0

Passo 3

Expandindo e isolando x,dv/dx:
(1+v)v + (1+v)xdvdx + v(3+v)=0
(1+v)xdvdx + vl(1+v+3+vr)=0
(1+v)xdvdx + v(4+2v)=0
xdvdx = -v(4+2v)1+v = -2,v(2+v)1+v

Passo 4

Separamos as variáveis:
1+vv(2+v),dv = -2,dxx
Fazendo frações parciais em v:
1+vv(2+v) = 1/2v + 1/22+v,
então
1+vv(2+v),dv = 12l(1v+12+vr)dv
Integrando:
12integrall(1v+12+vr)dv = -2integraldxx
12l(ln|v|+ln|v+2|r) = -2ln|x| + C1

Passo 5

Multiplicando por 2 e exponenciando:
lnl|v(v+2)r| = -4ln|x| + C2 Longrightarrow |v(v+2)| = C,x^-4
Volta a v=y/x:
yxl(yx+2r) = C,x^-4 Longrightarrow y(y+2x)x^2 = C,x^-4 Longrightarrow y(y+2x) = C,x^-2

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
y(y+2x) = C,x^-2,
onde C é constante arbitrária.

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