Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
Esse tipo de equação é homogênea em
e
, pois o quociente
aparece de forma racional. Para resolver, vamos usar a substituição
Passo 2
Substituindo na equação original:
Como
e
, isso vira
Dividindo por
:
Passo 3
Expandindo e isolando
:
Passo 4
Separamos as variáveis:
Fazendo frações parciais em
:
então
Integrando:
Passo 5
Multiplicando por 2 e exponenciando:
Volta a
v=y/x :
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
C é constante arbitrária.