Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
y^prime=raizx+y+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = raizx + y + 1
O conteúdo envolve técnicas de mudança de variável para reduzir a um problema separável.

Passo 2

Introduzimos a substituição
u = x + y + 1
Como y' = dydx, temos
dudx = 1 + dydx = 1 + raizu

Passo 3

Reescrevemos em forma separável:
dudx = 1 + raizu Longrightarrow du1 + raizu = dx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

Para calcular
integral du1 + raizu,
fazemos t = raizu, logo u = t^2 e du = 2t,dt. Então
integral du1 + raizu = integral 2t,dt1 + t = integral l(2 - 21 + tr),dt = 2t - 2lnl(1 + tr) + C1
Voltando a u, obtemos
2raizu - 2lnl(1 + raizur) = x + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Substituindo u = x + y + 1 de volta, a solução geral fica dada implicitamente por
2raizx + y + 1 - 2ln!l(1 + raizx + y + 1r) = x + C

Resposta

A solução geral é
2raizx + y + 1 - 2ln!l(1 + raizx + y + 1r) = x + C,
com C constante de integração.

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