Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
y^prime=(4 x+y)^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' = (4x + y)^2
Este é um problema de equação de primeira ordem não linear do tipo que podemos tratar por substituição, transformando-o numa equação separável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x + y
Dessa forma, em relação a x,
dudx = 4 + dydx = 4 + y'

Passo 3

Como y'=(4x+y)^2, isto é, y'=u^2, obtemos
dudx = 4 + u^2
Agora separamos variáveis:
duu^2 + 4 = dx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral duu^2 + 4 = integral dx
Como integral duu^2 + 4 = 12arctan!l(u2r), resulta
12arctan!l(tfracu2r) = x + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e aplicando a tangente, temos
arctan!l(tfracu2r) = 2x + C1 Longrightarrow u2 = tan(2x + C1) Longrightarrow u = 2tan(2x + C1)
Voltando à variável original, y = u - 4x, logo
y(x) = 2tan(2x + C1);-;4x

Resposta

y(x) = 2tanl(2x + Cr);-;4x,
onde C é constante arbitrária.

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