Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(x+y) y^prime=1

Passo 1

Temos a equação diferencial (x+y),y' = 1. Isso é uma EDO de primeira ordem onde a derivada aparece no denominador quando isolada. Para resolver, vamos usar a substituição u = x + y e depois separar variáveis.

Passo 2

Definindo u = x + y, calculamos dudx = 1 + dydx = 1 + y'. Como de (x+y),y' = 1 tiramos y' = 1u, então dudx = 1 + 1u = u+1u. Assim a equação vira uma que podemos separar.

Passo 3

Fazendo separação de variáveis e integramos:
dudx = u+1u Longrightarrow dx = uu+1,du
integral dx = integral uu+1,du
Usando a identidade uu+1 = 1 - 1u+1, temos
integral uu+1,du = integral l(1 - 1u+1r)du = u - lnlvert u+1rvert + C1
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u - lnlvert u+1rvert = x + C2

Passo 4

Voltando para a variável original y (lembrando u = x + y), obtemos a solução geral implícita:
y - lnlvert x + y + 1rvert = C
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral implícita é y - lnlvert x + y + 1rvert = C.

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