Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
Temos a equação diferencial
. Isso é uma EDO de primeira ordem onde a derivada aparece no denominador quando isolada. Para resolver, vamos usar a substituição
e depois separar variáveis.
Passo 2
Definindo
, calculamos
. Como de
tiramos
, então
. Assim a equação vira uma que podemos separar.
Passo 3
Fazendo separação de variáveis e integramos:
Usando a identidade
, temos
Logo
Passo 4
Voltando para a variável original
(lembrando
), obtemos a solução geral implícita:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral implícita é
.