Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x^2 y^prime+2 x y=5 y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^2y' + 2x y = 5y^3
O conteúdo é uma equação de Bernoulli, pois pode ser posta na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
e vamos usar a transformação típica para nneq0,1.

Passo 2

Dividimos tudo por x^2 para isolar y':
y' + 2x,y = 5x^2,y^3
Aqui P(x)=2/x, Q(x)=5/x^2 e n=3.

Passo 3

Na equação de Bernoulli com n=3 fazemos a substituição
u = y^1-n = y^-2
Então
u' = -2,y^-3,y',
e a equação se transforma numa equação linear em u. Substituindo e simplificando obtém-se
u' - 4x,u = -10x^2

Passo 4

Resolvemos a linear em u usando fator integrante. Tomamos
mu(x) = expl(-!integral 4x,dxr) = x^-4
Multiplicando a equação por x^-4 temos
ddxl(x^-4ur) = -10,x^-6
Integrando,
x^-4u = integral -10,x^-6,dx = 2,x^-5 + C,
ou seja
u = 2,x^-1 + C,x^4

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que u=y^-2, logo
y^-2 = 2,x^-1 + C,x^4
Invertendo,
y^2 = 12,x^-1 + C,x^4 = x2 + C,x^5,
e finalmente
y = pm raizx2 + C,x^5,
com C constante arbitrária.

Resposta

y(x) = pm raizx2 + C,x^5, CinR

Exercícios relacionados