Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
y^2 y^prime+2 x y^3=6 x

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem não-linear
y^2,dydx ;+;2x,y^3 ;=;6x
O objetivo é encontrar a solução geral. Vamos notar que é uma equação de variáveis separáveis e aplicar separação de variáveis.

Passo 2

Isolamos o dy/dx e separamos as variáveis y e x. Começamos escrevendo
y^2,dydx = 6x - 2x,y^3 = 2x,(3 - y^3),
ou seja
dydx = 2x,3 - y^3y^2
Agora separamos:
y^23 - y^3,dy = 2x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral y^23 - y^3,dy ;=;integral 2x,dx
Para a integral à esquerda, fazemos t = y^3 de onde dt = 3,y^2,dy, logo y^2,dy = dt/3. Assim
integral y^23 - y^3,dy = 13integral dt3 - t = -13lnl|3 - tr| = -13lnl|3 - y^3r|
À direita,
integral 2x,dx = x^2 + C
Portanto ficamos com
-13lnl|3 - y^3r| = x^2 + C

Passo 4

Isolamos y. Multiplicando por -3:
lnl|3 - y^3r| = -3x^2 + C1,
com C1 = -3C. Exponenciando:
3 - y^3 = K,e^-3x^2,
onde K = pm e^C1 é constante arbitrária. Assim
y^3 = 3 - K,e^-3x^2
Renomeando a constante -K por C, obtemos
y^3 = 3 + C,e^-3x^2

Resposta

boxedy(x) = l(3 + C,e^-3x^2r)^!1/3,
onde C é constante arbitrária.

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