Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Trata-se de uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar
de
, usar frações parciais para integrar em
e depois integrar em
.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
logo
Passo 3
Para integrar em
, decompomos em frações parciais:
Igualando numeradores:
Comparando coeficientes em
:
- termo
: - termo
: - termo constante:
Logo, , , e
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo:
Portanto
onde
C é constante de integração.
Passo 5
Reescrevendo em forma mais explícita, usamos propriedades de logaritmo:
com
K=e^C . Elevando ao quadrado e resolvendo para
y^2 :
Assim
Podemos renomear a constante
K^2to C (qualquer constante não negativa), obtendo forma equivalente.
Resposta
A forma implícita da solução geral é
Em forma explícita, com constante
C , pode ser escrita como