Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
y^prime=y+y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' = y + y^3
Trata-se de uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar y de x, usar frações parciais para integrar em y e depois integrar em x.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dydx = y(1+y^2)
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dyy(1+y^2) = dx

Passo 3

Para integrar em y, decompomos em frações parciais:
1y(1+y^2) = Ay + By + C1+y^2
Igualando numeradores:
1 = A(1+y^2) + (By + C)y = A + Ay^2 + By^2 + Cy
Comparando coeficientes em y:
  • termo y^2: A + B = 0
  • termo y: C = 0
  • termo constante: A = 1
    Logo A=1, B=-1, C=0, e
1y(1+y^2) = 1y - y1+y^2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(1y - y1+y^2r),dy = integral 1,dx
No lado esquerdo:
integral 1y,dy = lnl|yr|, integral y1+y^2,dy = 12lnl(1+y^2r)
Portanto
lnl|yr| - 12lnl(1+y^2r) = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo em forma mais explícita, usamos propriedades de logaritmo:
ln!l(|y|raiz1+y^2r) = x + C Longrightarrow |y|raiz1+y^2 = e^x+C = K,e^x,
com K=e^C. Elevando ao quadrado e resolvendo para y^2:
y^21+y^2 = K^2e^2x ;Longrightarrow; y^2 l(1 - K^2e^2xr) = K^2e^2x ;Longrightarrow; y^2 = K^2e^2x1 - K^2e^2x
Assim
y = pmK,e^xraiz1 - K^2e^2x
Podemos renomear a constante K^2to C (qualquer constante não negativa), obtendo forma equivalente.

Resposta

A forma implícita da solução geral é
ln!l(|y|raiz1+y^2r) = x + C
Em forma explícita, com constante C, pode ser escrita como
y(x) = pm 1raizC,e^-2x - 1

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