Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x^2 y^prime+2 x y=5 y^4

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^2y'+2xy=5y^4
Isso é um caso de equação de Bernoulli de primeira ordem, pois tem a forma
y'+P(x),y=Q(x),y^n
com n=4. Vamos usar o método de Bernoulli: dividir por x^2 e depois fazer a substituição apropriada.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2 (supondo xneq0), obtemos
y'+2x,y=5x^2,y^4
Aqui P(x)=2/x, Q(x)=5/x^2 e n=4.

Passo 3

Na equação de Bernoulli definimos
z=y^1-n=y^-3
Então
z'=-3,y^-4,y'

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por -3y^-4, transformamos em equação linear para z. Partindo de
y'+2xy=5x^2y^4
temos
-3y^-4y' -6xy^-3 = -15x^2
Mas o lado esquerdo é justamente
ddx(y^-3) + 6x,y^-3 = z' + 6x,z
Logo surge a equação linear
z' + 6x,z = -15x^2

Passo 5

Para resolver z'+tfrac6xz=-15/x^2 calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral 6xdxr)=x^6
Multiplicando a equação por x^6:
ddxl(x^6zr) = -15,x^4
Integrando ambos os lados:
x^6z = -15integral x^4dx = -15;x^55+C = -3x^5+C
Então
z = y^-3 = -3x^5x^6 + Cx^6 = -3x + Cx^6

Passo 6

Voltando a y, temos
y^-3 = C - 3x^5x^6 Longrightarrow y^3 = x^6C - 3x^5 Longrightarrow y(x) = (x^6C - 3x^5)^!1/3

Resposta

A solução geral é
y(x)=0 ou y(x)=l(tfracx^6C-3x^5r)^1/3,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados