Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Isso é um caso de equação de Bernoulli de primeira ordem, pois tem a forma
com
. Vamos usar o método de Bernoulli: dividir por
e depois fazer a substituição apropriada.
Passo 2
Dividindo toda a equação por
(supondo
), obtemos
Aqui
,
e
.
Passo 3
Na equação de Bernoulli definimos
Então
Passo 4
Multiplicando a forma padrão por
, transformamos em equação linear para
. Partindo de
temos
Mas o lado esquerdo é justamente
Logo surge a equação linear
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
:
Integrando ambos os lados:
Então
Passo 6
Voltando a
, temos
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.