Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
Este tipo de equação é um caso de equação de Bernoulli, cujo molde geral é
Aqui temos que identificar
,
e
.
Passo 2
Dividindo tudo por
(supondo
), fica
Portanto
Passo 3
Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
Calculamos
em função de
e
:
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
para criar o termo
:
Como
e
, obtemos
Agora temos uma equação linear em
.
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
dá
Passo 6
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Logo
Passo 7
Voltando à variável
, como
, temos
portanto
Resposta
onde
é constante arbitrária.