Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x y^prime+6 y=3 x y^4 / 3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
x,y' + 6,y = 3,x,y^4/3
Este tipo de equação é um caso de equação de Bernoulli, cujo molde geral é
y' + P(x),y = Q(x),y^n
Aqui temos que identificar P, Q e n.

Passo 2

Dividindo tudo por x (supondo xneq0), fica
y' + 6x,y = 3,y^4/3
Portanto
P(x)=6x, Q(x)=3, n=43

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
z = y^1-n = y^1 - 43 = y^-tfrac13
Calculamos z' em função de y e y':
z' = -tfrac13,y^-4/3,y'

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^-4/3 para criar o termo y^-4/3y':
y^-4/3y' + 6x,y^-1/3 = 3
Como y^-4/3y' = -3,z' e y^-1/3=z, obtemos
-3,z' + 6x,z = 3 Longrightarrow z' - 2x,z = -1
Agora temos uma equação linear em z.

Passo 5

Para resolver
z' - 2x,z = -1
calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2
ddxl(x^-2zr) = -x^-2

Passo 6

Integramos em x:
x^-2z = integral -x^-2,dx = x^-1 + C,
onde C é constante de integração. Logo
z = x^2l(x^-1 + Cr) = x + C,x^2

Passo 7

Voltando à variável y, como z=y^-1/3, temos
y^-1/3 = x + Cx^2 Longrightarrow y^1/3 = 1x(1 + Cx),
portanto
y = l[x,(1 + Cx)r]^-3 = 1x^3,(1 + Cx)^3

Resposta

boxedy(x) = 1x^3,l(1 + Cxr)^3,
onde C é constante arbitrária.

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