Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é equações de Bernoulli. Para resolver, vamos primeiro pôr em forma padrão
.
Passo 2
Dividindo tudo por
, obtemos
Então é uma equação de Bernoulli com
,
e
.
Passo 3
Na equação de Bernoulli, fazemos a troca
Precisamos também da derivada
. Como
,
Passo 4
Usamos
da equação original reescrita e substituímos em
. Mais fácil é multiplicar a forma padrão por
:
Mas o lado esquerdo é exatamente
. Logo a equação em
fica
Passo 5
Esta é uma equação linear em
. O fator integrante é
Multiplicando tudo por
dá
Integramos ambos os lados:
Então
Passo 6
Voltando a
, temos
, isto é
Invertendo e extraindo raiz quadrada surge
portanto
Resposta
onde
é constante arbitrária.