Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
2 x y^prime+y^3 e^-2 x=2 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2x,y'+y^3e^-2x=2x,y
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é equações de Bernoulli. Para resolver, vamos primeiro pôr em forma padrão y'+P(x)y=Q(x)y^n.

Passo 2

Dividindo tudo por 2x, obtemos
y' - y = -e^-2x2x,y^3
Então é uma equação de Bernoulli com n=3, P(x)=-1 e Q(x)=-tfrace^-2x2x.

Passo 3

Na equação de Bernoulli, fazemos a troca
u = y^1-n = y^-2
Precisamos também da derivada u'. Como u=y^-2,
u' = -2,y^-3y'

Passo 4

Usamos y' da equação original reescrita e substituímos em u'. Mais fácil é multiplicar a forma padrão por -2y^-3:
-2y^-3y' + 2y^-2 = e^-2xx
Mas o lado esquerdo é exatamente u' + 2u. Logo a equação em u fica
u' + 2u = e^-2xx

Passo 5

Esta é uma equação linear em u. O fator integrante é
mu(x)=e^integral 2,dx=e^2x
Multiplicando tudo por e^2x
(e^2xu)' = e^2xe^-2xx = 1x
Integramos ambos os lados:
e^2xu = integral 1x,dx = lnlvert xrvert + C
Então
u = e^-2xl(lnlvert xrvert + Cr)

Passo 6

Voltando a y, temos u=y^-2, isto é
y^-2 = e^-2xl(lnlvert xrvert + Cr)
Invertendo e extraindo raiz quadrada surge
y^2 = e^2xlnlvert xrvert + C,
portanto
y(x)=pm e^xraizlnlvert xrvert + C

Resposta

boxedy(x)=pm e^xraizlnlvert xrvert + C,
onde C é constante arbitrária.

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