Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
y^2(x y^prime+y)(1+x^4)^1 / 2=x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
y^2l(xy'+yr)raiz1+x^4=x
Reparamos que xy'+y=ddx(xy). Para resolver, usamos a substituição
u=xy

Passo 2

Com u=xy segue
u'=dudx=xy'+y, y=ux
Substituindo em
y^2,(xy'+y)raiz1+x^4=x
obtém-se
u^2x^2,u',raiz1+x^4=x Longrightarrow u^2,u',raiz1+x^4=x^3

Passo 3

Reescrevendo u'=dudx temos
u^2dudx=x^3raiz1+x^4
Separamos as variáveis:
u^2,du=x^3raiz1+x^4,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral u^2,du=u^33, integral x^3raiz1+x^4,dx =12raiz1+x^4,
onde usamos t=1+x^4, dt=4x^3dx. Assim
u^33=12raiz1+x^4+C

Passo 5

Isolando u:
u^3=32raiz1+x^4+C',
onde C'=3C. Voltando a y (pois u=xy), obtemos
y=ux =l(tfrac32raiz1+x^4+C'r)^1/3x

Resposta

y(x) =l(C+tfrac32raiz1+x^4r)^1/3x,
onde C é constante arbitrária.

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