Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
3 y^2 y^prime+y^3=e^-x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
3y^2dydx + y^3 = e^-x
O conteúdo envolve reconhecer que 3y^2dydx é a derivada de y^3 e, em seguida, resolver uma equação linear em uma nova variável.

Passo 2

Repare que
ddxl(y^3r)=3y^2dydx
Defina
u = y^3
Substituindo na ODE original, obtemos
dudx + u = e^-x,
que é uma equação linear de coeficientes constantes em u(x).

Passo 3

Para resolver dudx + u = e^-x, calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando toda a equação por e^x
e^xdudx + e^xu = (e^xu)' = 1
Integrando ambos os lados em relação a x,
e^xu = integral 1,dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Logo,
u = e^-x(x + C)

Passo 4

Voltando à variável original y, temos
y^3 = e^-x(x + C),
e portanto a solução geral é
y = raiz[3]e^-x(x + C)

Resposta

y(x) = raiz[3](x + C)e^-x,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados