Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
3 x y^2 y^prime=3 x^4+y^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
3x,y^2,dydx=3x^4+y^3
O conteúdo envolve reconhecer que o lado esquerdo é x vezes a derivada de y^3 e, em seguida, resolver uma equação linear em u=y^3 usando fator integrante.

Passo 2

Note que
ddx(y^3)=3y^2dydx,
logo a equação pode ser escrita como
x,ddx(y^3)=3x^4+y^3

Passo 3

Fazendo a substituição u=y^3, obtemos
x,dudx=3x^4+u
ou seja
x,u'-u=3x^4

Passo 4

Dividindo por x e colocando na forma padrão u'+P(x),u=Q(x), temos
u'-1xu=3x^3
O fator integrante é
mu(x)=expl(integral -tfrac1x,dxr)=x^-1
Multiplicando a equação por mu(x), vem
1xu'-1x^2u=;3x^2 Longrightarrow ddxl(uxr)=3x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ux=integral 3x^2,dx = x^3 + C,
portanto
u=x(x^3+C)=x^4 + Cx

Passo 6

Voltando à variável original y, lembramos que u=y^3. Logo
y^3 = x^4 + Cx
e a solução geral fica
y(x)=l(x^4 + Cxr)^!1/3

Resposta

y^3 = x^4 + Cx Long<=ftrightarrow y(x)=l(x^4 + Cxr)^!1/3

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