Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x e^y y^prime=2(e^y+x^3 e^2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x e^y,dydx ;=;2l(e^y+x^3e^2xr)
O conteúdo aqui é que, ao observarmos o fator e^y, podemos usar a substituição
u = e^y,
transformando a equação em uma equação linear em u(x).

Passo 2

Fazendo u=e^y temos
dudx ;=;e^y,dydx ;=;u,dydx
Substituindo na equação original:
x,u,dydx ;=;2l(u + x^3e^2xr) Longrightarrow x,dudx ;=;2l(u + x^3e^2xr)

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de equação linear em u:
x,dudx ;-;2,u ;=;2,x^3e^2x Longrightarrow dudx ;-;2x,u ;=;2,x^2e^2x

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln|x|) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2 obtemos
x^-2,dudx ;-;2,x^-3,u =;2,e^2x Long<=ftrightarrow ddxl(x^-2ur)=2,e^2x

Passo 5

Integramos em x:
x^-2u = integral 2,e^2x,dx = e^2x + C,
onde C é constante de integração. Então
u = x^2l(e^2x+Cr)
Voltando a y via u=e^y, temos
e^y = x^2l(e^2x+Cr) Longrightarrow y = ln!l[x^2(e^2x+C)r]

Resposta

boxedy(x) = ln!l[x^2l(e^2x+Cr)r],
ou, de forma equivalente,
e^y = x^2(e^2x+C)

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