Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
(2 x sin y cos y) y^prime=4 x^2+sin ^2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(2xsin ycos y),dydx ;=;4x^2+sin^2y
O conteúdo que vamos usar é o método de variáveis separáveis via substituição em termos de t=sin^2y, aproveitando que
,d(sin^2y)=2sin ycos y,dy.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma de diferenciais:
2xsin ycos y,dy ;=;(4x^2+sin^2y),dx

Passo 3

Como d(sin^2y)=2sin ycos y,dy, temos
sin ycos y,dy=12,d(sin^2y)
Logo o lado esquerdo fica
2xsin ycos y,dy = x,d(sin^2y)

Passo 4

Definindo t=sin^2y, substituímos e obtemos
x,dt = l(4x^2 + tr),dx

Passo 5

Reorganizando para reconhecer uma derivada exata, escrevemos
x,dt - t,dx =4x^2,dx
e notamos que
x,dt - t,dxx^2 = dl(txr)
Dividindo ambos os lados por x^2
dl(txr)=4,dx

Passo 6

Integramos dos dois lados:
tx=4x + C,
onde C é constante de integração. Voltando a t=sin^2y, resulta
sin^2y = 4x^2 + Cx

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
boxedsin^2y = 4x^2 + Cx,
onde C é a constante de integração.

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