Encontre a solução geral de cara equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo que vamos usar é o método de variáveis separáveis via substituição em termos de
, aproveitando que
.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma de diferenciais:
Passo 3
Como
, temos
Logo o lado esquerdo fica
Passo 4
Definindo
, substituímos e obtemos
Passo 5
Reorganizando para reconhecer uma derivada exata, escrevemos
e notamos que
Dividindo ambos os lados por
dá
Passo 6
Integramos dos dois lados:
onde
é constante de integração. Voltando a
, resulta
Resposta
A solução geral está dada implicitamente por
onde
é a constante de integração.