Encontre a solução geral, caso exista, das seguintes equações diofantinas lineares:
14 x+31 y=1;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral em inteiros da equação diofantina linear
14x + 31y = 1.
O conteúdo necessário é (1) o critério de existência de solução (gcd), (2) o algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular e (3) a expressão da solução geral.

Passo 2

Calcular o máximo divisor comum de 14 e 31 via algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 31 &= 14 \cdot 2 + 3,\\\\ 14 &= 3 \cdot 4 + 2,\\\\ 3 &= 2 \cdot 1 + 1,\\\\ 2 &= 1 \cdot 2 + 0. \end{aligned}
Logo \gcd(14,31)=1. Como 1\mid1, existe solução inteira.

Passo 3

Fazer a volta no algoritmo para expressar 1 como combinação de 14 e 31:
\begin{aligned} 1 &= 3 - 2\cdot1,\\\\ 2 &= 14 - 3\cdot4,\\\\ 3 &= 31 - 14\cdot2. \end{aligned}
Substituindo:
1 = 3 - (14 - 3\cdot4) = 3\cdot5 - 14,
1 = (31 - 14\cdot2)\cdot5 - 14 = 31\cdot5 - 14\cdot11.
Portanto uma solução particular é
x_0 = -11,\quad y_0 = 5,
pois 14\cdot(-11) + 31\cdot5 = -154 + 155 = 1.

Passo 4

A solução geral de
14x + 31y = 1
é dada por
x = x_0 + \frac{31}{\gcd(14,31)}\,t = -11 + 31\,t,
y = y_0 - \frac{14}{\gcd(14,31)}\,t = 5 - 14\,t,
onde t é um parâmetro inteiro.

Resposta

A solução geral é
x = -11 + 31\,t,\quad y = 5 - 14\,t, \qquad t\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados