Prove que todo número inteiro positivo de três dígitos que não é primo possui um fator primo menor ou igual a 31.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo inteiro positivo de três dígitos que não é primo (ou seja, todo n com 100 \le n \le 999 e composto) tem ao menos um fator primo menor ou igual a 31. Para isso vamos usar o fato clássico de que, se um inteiro composto n admite um divisor não trivial, então existe um divisor primo de n que não excede \sqrt{n}.

Passo 2

Prova do fato geral: seja n um inteiro composto. Então existem inteiros a e b tais que
n = a b,
com 1 < a \le b. Daí
a^2 \le a b = n
implica a \le \sqrt{n}. Como a>1, extraímos de a um divisor primo p (pelo fato de qualquer inteiro maior que 1 ter um divisor primo) e obtemos
p \le a \le \sqrt{n}.

Passo 3

Agora aplicamos isso a um número n de três dígitos, ou seja, 100 \le n \le 999. Então
\sqrt{n} \le \sqrt{999} < \sqrt{1024} = 32.
Portanto
\sqrt{n} < 32
e, por ser inteiro, \sqrt{n} \le 31. Assim o divisor primo p que encontramos satisfaz
p \le \sqrt{n} \le 31.

Resposta

Todo número inteiro positivo de três dígitos que não é primo possui um fator primo p com p \le 31.

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