Prove que todo número inteiro positivo de três dígitos que não é primo possui um fator primo menor ou igual a 31.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo inteiro positivo de três dígitos que não é primo (ou seja, todo
com
e composto) tem ao menos um fator primo menor ou igual a 31. Para isso vamos usar o fato clássico de que, se um inteiro composto
admite um divisor não trivial, então existe um divisor primo de
que não excede
.
Passo 2
Prova do fato geral: seja
um inteiro composto. Então existem inteiros
e
tais que
com
. Daí
implica
Como
, extraímos de
um divisor primo
(pelo fato de qualquer inteiro maior que 1 ter um divisor primo) e obtemos
Passo 3
Agora aplicamos isso a um número
de três dígitos, ou seja,
. Então
Portanto
e, por ser inteiro,
. Assim o divisor primo
que encontramos satisfaz
Resposta
Todo número inteiro positivo de três dígitos que não é primo possui um fator primo
com
.