Mostre que dois inteiros consecutivos são sempre primos entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que quaisquer dois inteiros consecutivos são primos entre si, ou seja, que
\gcd(n,\,n+1)=1
para todo inteiro n. Vamos usar a propriedade de que qualquer divisor comum de dois números divide também sua combinação linear.

Passo 2

Seja d um divisor comum de n e n+1. Então temos
d \mid n \quad\text{e}\quad d \mid (n+1).
Como qualquer divisor comum também divide a diferença entre esses números, segue que
d \mid \bigl((n+1)-n\bigr) \quad\Longrightarrow\quad d \mid 1.

Passo 3

O único divisor inteiro positivo de 1 é 1. Logo, o maior divisor comum de n e n+1 é 1, isto é,
\gcd(n,\,n+1)=1.

Resposta

\gcd(n,\,n+1)=1

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