Encontre a solução geral, caso exista, das seguintes equações diofantinas lineares:
37 x+89 y=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diofantina linear
37x + 89y = 1
Isso envolve dois passos: (1) verificar que \gcd(37,89)=1 usando o algoritmo de Euclides e (2) usar o algoritmo de Euclides estendido para achar uma combinação linear que dê 1.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para \gcd(89,37):
\gcd(89,37) = \gcd(37,89 \bmod 37) = \gcd(37,15),
\gcd(37,15) = \gcd(15,37 \bmod 15) = \gcd(15,7),
\gcd(15,7) = \gcd(7,15 \bmod 7) = \gcd(7,1),
\gcd(7,1) = \gcd(1,7 \bmod 1) = \gcd(1,0) = 1.
Como o máximo divisor comum é 1, a equação tem solução inteira.

Passo 3

Agora fazemos a volta do algoritmo para expressar 1 como combinação de 37 e 89. Sabendo que
1 = 15 - 2\cdot7,
e que
7 = 37 - 2\cdot15, \quad 15 = 89 - 2\cdot37,
substituímos passo a passo:
1 = 15 - 2\,(37 - 2\cdot15) = 5\cdot15 - 2\cdot37,
1 = 5\,(89 - 2\cdot37) - 2\cdot37 = 5\cdot89 - 10\cdot37 - 2\cdot37 = 5\cdot89 - 12\cdot37.
Isto mostra que
37\cdot(-12) + 89\cdot5 = 1,
portanto uma solução particular é
x_0 = -12, \quad y_0 = 5.

Passo 4

A solução geral de
37x + 89y = 1
é dada por
x = x_0 + \frac{89}{1}\,k = -12 + 89k, \quad y = y_0 - \frac{37}{1}\,k = 5 - 37k,
onde k é um inteiro qualquer.

Resposta

x = -12 + 89k,\quad y = 5 - 37k,\quad k\in\mathbb{Z}.

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