Utilizando a família de soluções obtida no exercício anterior, encontre a solução da equação diferencial
y^{\prime}=y^{2}-4
que satisfaça a condição inicial \mathrm{y}(0)=3.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial inicial e pede a solução que satisfaz a condição inicial. Os dados são:
Equação diferencial: y^{\prime}=y^{2}-4.
Condição inicial: y(0)=3.
A tarefa é encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação e passa por y(0)=3.
Passo 2
Isolar as variáveis (separação de variáveis). A equação pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=y^{2}-4.
Como y^{2}-4 depende só de y, podemos separar as variáveis colocando todos os termos com y do lado de dy e dx do outro lado:
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Breve explicação do porquê: separar variáveis significa reorganizar a equação para integrar em y de um lado e em x do outro; depois integrando obtemos relações entre y e x.
Observação importante (sempre verificar soluções constantes): se y^{2}-4=0 então y=\pm 2 são soluções constantes. Como a condição inicial é y(0)=3, que não é 2 nem -2, a solução que procuramos não é uma solução constante; podemos prosseguir com a separação.
Passo 3
Integrar ambos os lados. Vamos integrar em y o lado esquerdo e em x o direito:
\int \frac{dy}{y^{2}-4}=\int dx.
Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Escrevemos
Multiplicando numerador e denominador por 5 para simplificar a aparência:
y=\frac{2\bigl(5+e^{4x}\bigr)}{5-e^{4x}}.
Comentário sobre domínio: a solução está bem definida enquanto o denominador for diferente de zero, isto é, enquanto 5-e^{4x}\neq 0. Isso significa e^{4x}\neq 5, ou seja x\neq \tfrac{1}{4}\ln 5. Como 0<\tfrac{1}{4}\ln 5, a solução com y(0)=3 existe em um intervalo que contém x=0 e vai até antes de x=\tfrac{1}{4}\ln 5 (e também existe para x<\tfrac{1}{4}\ln 5 até -\infty).