Utilizando a família de soluções obtida no exercício anterior, encontre a solução da equação diferencial
y^{\prime}=y^{2}-4
que satisfaça a condição inicial \mathrm{y}(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial inicial e pede a solução que satisfaz a condição inicial. Os dados são:
  • Equação diferencial: y^{\prime}=y^{2}-4.
  • Condição inicial: y(0)=3.
A tarefa é encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação e passa por y(0)=3.

Passo 2

Isolar as variáveis (separação de variáveis). A equação pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=y^{2}-4.
Como y^{2}-4 depende só de y, podemos separar as variáveis colocando todos os termos com y do lado de dy e dx do outro lado:
\frac{dy}{y^{2}-4}=dx.
Breve explicação do porquê: separar variáveis significa reorganizar a equação para integrar em y de um lado e em x do outro; depois integrando obtemos relações entre y e x.
Observação importante (sempre verificar soluções constantes): se y^{2}-4=0 então y=\pm 2 são soluções constantes. Como a condição inicial é y(0)=3, que não é 2 nem -2, a solução que procuramos não é uma solução constante; podemos prosseguir com a separação.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Vamos integrar em y o lado esquerdo e em x o direito:
\int \frac{dy}{y^{2}-4}=\int dx.
Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{(y-2)(y+2)}=\frac{A}{y-2}+\frac{B}{y+2}.
Encontrando A e B: multiplicando por (y-2)(y+2) obtemos
1=A(y+2)+B(y-2).
Tomando y=2 1=A(4)\Rightarrow A=\tfrac{1}{4}. Tomando y=-2 1=B(-4)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{4}. Logo
\frac{1}{y^{2}-4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{y-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{y+2}.
Agora a integral fica
\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{y-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{y+2}\right)dy=\int dx.
Integrando:
\frac{1}{4}\ln\bigl|y-2\bigr|-\frac{1}{4}\ln\bigl|y+2\bigr|=x+C,
onde C é constante de integração. Podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=x+C.
Multiplicando por 4:
\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=4x+C_1,
com C_1=4C. Exponenciando:
\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=e^{4x+C_1}=K e^{4x},
onde K=e^{C_1}>0. Para acomodar o sinal absoluto podemos escrever de forma mais geral
\frac{y-2}{y+2}=K e^{4x},
onde agora K é uma constante real não nula (pode ser positiva ou negativa conforme o sinal inicial).

Passo 4

Determinar a constante K usando a condição inicial y(0)=3. Substituindo x=0 e y=3 na relação achada:
\frac{3-2}{3+2}=K e^{0}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{5}=K.
Portanto K=\tfrac{1}{5}. Assim a relação entre y e x é
\frac{y-2}{y+2}=\frac{1}{5}e^{4x}.

Passo 5

Isolar y explicitamente. Começamos por multiplicar:
y-2=\frac{1}{5}e^{4x}(y+2).
Agrupando os termos com y:
y-\frac{1}{5}e^{4x}\,y=2+\frac{2}{5}e^{4x}.
Fatorando y no lado esquerdo:
y\left(1-\frac{1}{5}e^{4x}\right)=2\left(1+\frac{1}{5}e^{4x}\right).
Agora dividimos:
y=\frac{2\left(1+\tfrac{1}{5}e^{4x}\right)}{1-\tfrac{1}{5}e^{4x}}.
Multiplicando numerador e denominador por 5 para simplificar a aparência:
y=\frac{2\bigl(5+e^{4x}\bigr)}{5-e^{4x}}.
Comentário sobre domínio: a solução está bem definida enquanto o denominador for diferente de zero, isto é, enquanto 5-e^{4x}\neq 0. Isso significa e^{4x}\neq 5, ou seja x\neq \tfrac{1}{4}\ln 5. Como 0<\tfrac{1}{4}\ln 5, a solução com y(0)=3 existe em um intervalo que contém x=0 e vai até antes de x=\tfrac{1}{4}\ln 5 (e também existe para x<\tfrac{1}{4}\ln 5 até -\infty).

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{2\bigl(5+e^{4x}\bigr)}{5-e^{4x}}

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