Encontre a solução geral da edo dada:
y=x y^prime+raiz1+(y^prime)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
y = x y' + raiz1 + (y')^2
Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre como resolver EDOs. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos chamar a derivada de y em relação a x de p , ou seja:
p = y'
Com isso, a equação fica:
y = x p + raiz1 + p^2

Passo 3

Agora, nosso objetivo é encontrar uma relação que nos permita resolver para y . Para isso, vamos isolar y em termos de p e x . Mas, para avançar, precisamos relacionar p com x e y . Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x :
Derivando y :
dydx = p
Derivando o lado direito:
ddx(x p + raiz1 + p^2) = p + x dpdx + p dpdxraiz1 + p^2
Então, temos:
p = p + x dpdx + p dpdxraiz1 + p^2

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Subtraindo p dos dois lados:
0 = x dpdx + p dpdxraiz1 + p^2
Fatorando dpdx :
0 = dpdx ( x + praiz1 + p^2 )
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. dpdx = 0
  2. x + praiz1 + p^2 = 0

Passo 5

Primeira possibilidade: dpdx = 0
Isso significa que p é uma constante, chamar de C . Substituindo de volta na equação original:
y = x C + raiz1 + C^2
Isso nos dá uma solução linear para y .

Passo 6

Segunda possibilidade: x + praiz1 + p^2 = 0
Vamos resolver para p :
praiz1 + p^2 = -x
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
p^21 + p^2 = x^2
Multiplicando ambos os lados por 1 + p^2 :
p^2 = x^2 (1 + p^2)
Distribuindo x^2 :
p^2 = x^2 + x^2 p^2
Isolando termos com p^2 :
p^2 (1 - x^2) = x^2
Então:
p^2 = x^21 - x^2
Tomando a raiz:
p = xraiz1 - x^2

Passo 7

Agora, lembrando que p = dydx , temos:
dydx = xraiz1 - x^2
Vamos integrar ambos os lados para encontrar y :
integral dy = integral xraiz1 - x^2 dx
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja u = 1 - x^2 , então du = -2x dx , ou seja, -12 du = x dx .
Substituindo:
y = -12 integral 1raizu du + C
Integrando:
y = -12 cdot 2 raizu + C
y = -raiz1 - x^2 + C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = x C + raiz1 + C^2 ou y = -raiz1 - x^2 + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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