Encontre a solução geral da edo dada:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente sobre como resolver EDOs. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar. Vamos chamar a derivada de
em relação a
de
, ou seja:
Com isso, a equação fica:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é encontrar uma relação que nos permita resolver para
. Para isso, vamos isolar
em termos de
e
. Mas, para avançar, precisamos relacionar
com
e
. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Derivando
:
Derivando o lado direito:
Então, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Subtraindo
dos dois lados:
Fatorando
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 5
Primeira possibilidade:
Isso significa que
é uma constante, chamar de
. Substituindo de volta na equação original:
Isso nos dá uma solução linear para
.
Passo 6
Segunda possibilidade:
Vamos resolver para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Isolando termos com
:
Então:
Tomando a raiz:
Passo 7
Agora, lembrando que
, temos:
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Integrando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.