Encontre a solução geral da edo dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO). Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão para
em termos de
que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de manipulação de EDOs e, possivelmente, substituições para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar
de
para facilitar a escrita:
Isso nos dá:
Agora, se isolarmos
:
Então, temos uma relação entre
e
.
Passo 3
Lembrando que
, vamos substituir na equação que encontramos:
Vamos reescrever isso para facilitar:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Mas como
, podemos substituir:
Onde
.
Passo 4
Simplificando a equação que obtivemos:
Fatorando
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Se
, isso significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Então, temos:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é outra constante de integração. Essa é uma solução linear da EDO.
Passo 6
Caso 2:
Resolvendo para
:
Agora, lembrando que
, vamos integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.