Encontre a solução geral da edo dada:
y^prime(x y^prime-y+5)+4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
y'(x y' - y + 5) + 4 = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária (EDO). Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão para y em termos de x que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de manipulação de EDOs e, possivelmente, substituições para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar y' de p para facilitar a escrita:
p (x p - y + 5) + 4 = 0
Isso nos dá:
x p^2 - p y + 5 p + 4 = 0
Agora, se isolarmos y :
p y = x p^2 + 5 p + 4
y = x p + 5 + 4p
Então, temos uma relação entre y e p .

Passo 3

Lembrando que p = y' = dydx , vamos substituir na equação que encontramos:
y = x dydx + 5 + 4dydx
Vamos reescrever isso para facilitar:
y = x dydx + 5 + 4p
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x :
dydx = dydx + x d^2 ydx^2 - 4p^2 dpdx
Mas como dydx = p , podemos substituir:
p = p + x p' - 4 p'p^2
Onde p' = dpdx .

Passo 4

Simplificando a equação que obtivemos:
0 = x p' - 4 p'p^2
Fatorando p' :
p' (x - 4p^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. p' = 0
  2. x - 4p^2 = 0
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: p' = 0
Se p' = 0 , isso significa que p é uma constante. Vamos chamar essa constante de C .
Então, temos:
p = C
dydx = C
Integrando ambos os lados em relação a x :
y = C x + D
Onde D é outra constante de integração. Essa é uma solução linear da EDO.

Passo 6

Caso 2: x - 4p^2 = 0
Resolvendo para p :
x = 4p^2
p^2 = 4x
p = pm 2raizx
Agora, lembrando que p = dydx , vamos integrar:
dydx = pm 2raizx
Integrando ambos os lados:
y = pm 4 raizx + E
Onde E é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
y = C x + D ou y = pm 4 raizx + E
Onde C , D e E são constantes arbitrárias.

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