Encontre a solução geral da edo dada:
, com uma solução particular da forma
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e informa que uma solução particular é
. O conteúdo aqui é reconhecer que, dada uma solução particular de uma Riccati, podemos usar a mudança de variável
para reduzir a equação a uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 2
Fazendo a substituição
calculamos
por derivação direta:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original. O lado direito fica
Logo, da igualdade
temos
Passo 4
Simplificando a igualdade anterior cancelando 1 e multiplicando por
, obtemos
Integramos para achar
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Voltando à variável
, temos
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.