Encontre a solução geral da edo dada:
y^prime=1+t^2-2 t y+y^2, com uma solução particular da forma y1(t)=t.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y^prime=1+t^2-2t,y+y^2
e informa que uma solução particular é y1(t)=t. O conteúdo aqui é reconhecer que, dada uma solução particular de uma Riccati, podemos usar a mudança de variável
y=y1+1v
para reduzir a equação a uma equação linear de primeira ordem em v.

Passo 2

Fazendo a substituição
y = t + 1v,
calculamos y' por derivação direta:
y' = ddtl(t + tfrac1vr) = 1 - v'v^2

Passo 3

Substituímos y e y' na equação original. O lado direito fica
1 + t^2 - 2tl(t+tfrac1vr) + l(t+tfrac1vr)^2 = 1 + t^2 -2t^2 - 2tv + t^2 + 2tv + 1v^2 = 1 + 1v^2
Logo, da igualdade
y' = 1 - v'v^2 e y' = 1 + 1v^2
temos
1 - v'v^2 = 1 + 1v^2

Passo 4

Simplificando a igualdade anterior cancelando 1 e multiplicando por v^2, obtemos
-,v' = 1 Longrightarrow v' = -1
Integramos para achar v:
v(t) = -,t + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y(t) = t + 1v(t) = t + 1C - t

Resposta

A solução geral é
boxedy(t) = t + 1C - t,
com C constante arbitrária.

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