Encontre a solução geral da edo dada:
y^prime=-y^2 x^-2-y x^-1+3, com uma solução particular da forma y1(x)=x.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = -,y^2x^-2 ;-; y,x^-1 ;+; 3
que é uma equação de Riccati do tipo
y' = q0(x) + q1(x),y + q2(x),y^2,
com q0(x)=3, q1(x)=-x^-1 e q2(x)=-x^-2. Foi dada a solução particular y1(x)=x. Para encontrar a solução geral, vamos usar a transformação padrão
y = y1 + 1u,
que reduz a equação de Riccati a uma equação linear em u.

Passo 2

Substituindo y=y1+1/u na equação geral e usando que y1 satisfaz a Riccati, chega-se ao seguinte linear em u:
u' + l(q1(x)+2,q2(x),y1(x)r),u + q2(x)=0
Aqui
q1(x)+2,q2(x),y1(x) = -x^-1 + 2l(-x^-2r),x = -3,x^-1, q2(x)=-x^-2,
logo a equação para u fica
u' ;-; 3,x^-1,u = x^-2

Passo 3

Para resolver
u' - 3x,u = 1x^2,
o fator integrante é
mu(x) = expl(integral -3x,dxr) = x^-3
Multiplicando por x^-3,
ddxl(x^-3ur) = x^-5
Integrando,
x^-3u = integral x^-5,dx = -14,x^-4 + C,
ou seja
u = C,x^3 ;-; 14x

Passo 4

Voltando à transformação y = x + 1/u, temos
y = x + 1C,x^3 - tfrac14x = x + 4x4C,x^4 - 1

Resposta

A solução geral é
boxed,y(x) = x ;+; 4x4C,x^4 - 1,
onde C é a constante arbitrária.

Exercícios relacionados