Resolva as integrais a seguir.
integral0^2 pi sen(x) cos (x)3-cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
I = integral0^2pi sin x,cos x3 - cos^2 x,dx
O conteúdo envolve técnicas de integração por substituição, pois o numerador é proporcional à derivada do denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3 - cos^2 x,
porque ao derivar u em relação a x aparece o produto sin xcos x que temos no numerador.

Passo 3

Derivando u obtemos
du = 2sin xcos x,dx Longrightarrow sin xcos x,dx = du2
Substituindo na integral, temos
integral sin x,cos x3 - cos^2 x,dx = integral 1u,du2 = tfrac12integral duu

Passo 4

Integramos e voltamos a x:
integral duu = ln|u| + C Longrightarrow F(x) = 12lnl|3 - cos^2 xr|
Observação: 3-cos^2 x está sempre entre 2 e 3, logo é positivo e podemos tirar barras de valor absoluto.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 2pi:
F(2pi) = 12ln(3 - cos^2(2pi)) = 12ln(3-1) = 12ln 2,
F(0) = 12ln(3 - cos^2 0) = 12ln(3-1) = 12ln 2
Então
I = F(2pi) - F(0) = 12ln 2 - 12ln 2 = 0

Resposta

0

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