Encontre a solução geral da edo dada:
, com uma solução particular da forma
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
sabendo que uma solução particular é
Vamos usar o método de redução para Riccati: a partir de uma solução particular transforma-se a equação num problema linear de primeira ordem.
Passo 2
Reescrevemos a EDO na forma padrão
Comparando com
vemos
De fato verifica‐se que
satisfaz a EDO original.
Passo 3
Fazemos a substituição clássica para Riccati
Nessa mudança de variável obtém‐se para
a EDO linear
Como
e
, a equação fica
Passo 4
Resolvemos
por fator integrante
. Multiplicando por
:
Integrando,
portanto
Passo 5
Voltando a
, e reescrevendo a constante como
, obtemos
logo
onde
é uma constante arbitrária. Assim a solução geral é
Resposta
onde
é constante arbitrária.