Encontre a solução geral da edo dada:
y^prime+x y^2-2 x^2 y+x^3=x+1, com uma solução particular da forma y1(x)=x-1.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
y' + x,y^2 - 2x^2,y + x^3 = x + 1
sabendo que uma solução particular é
y1(x)=x-1
Vamos usar o método de redução para Riccati: a partir de uma solução particular transforma-se a equação num problema linear de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão
y' = -,x,y^2 + 2x^2,y - (x^3 - x -1)
Comparando com
y' = a(x),y^2 + b(x),y + c(x),
vemos
a(x)= -x, b(x)=2x^2, c(x)= -,l(x^3 - x -1r)
De fato verifica‐se que y1=x-1 satisfaz a EDO original.

Passo 3

Fazemos a substituição clássica para Riccati
y = y1 + 1u Longrightarrow y = x-1 + 1u
Nessa mudança de variável obtém‐se para u a EDO linear
u' + l(2a,y1 + br),u + a = 0
Como 2a,y1+b = 2(-x)(x-1)+2x^2 = -2x e a=-x, a equação fica
u' - 2x,u - x = 0 ;Long<=ftrightarrow; u' - 2x,u = x

Passo 4

Resolvemos
u' - 2x,u = x
por fator integrante mu(x)=e^integral(-2x),dx=e^-x^2. Multiplicando por mu:
ddxl(u,e^-x^2r) = x,e^-x^2
Integrando,
u,e^-x^2 = integral x,e^-x^2,dx + C = -tfrac12,e^-x^2 + C,
portanto
u = -tfrac12 + C,e^x^2

Passo 5

Voltando a y = x-1 + 1/u, e reescrevendo a constante como K=-2C, obtemos
u = -1 + 2C,e^x^22 = K,e^x^2-12,
logo
1u = 2K,e^x^2-1 = 21 + C',e^x^2,
onde C'=-K é uma constante arbitrária. Assim a solução geral é
y(x) = x - 1 + 21 + C',e^x^2

Resposta

boxedy(x) = x - 1 + 21 + C,e^x^2,
onde C é constante arbitrária.

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