Use a substituição u=tan (x2) para calcular as seguintes integrais. Lembre
sen(x)=2 tan (x2)1+tan ^2(x2) e cos (x)=1-tan ^2(x2)1+tan ^2(x2)
integral 12+sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 12+sen(x),dx
usando a substituição de Weierstrass u=tanl(tfracx2r). Vamos usar as fórmulas
sen(x)=2u1+u^2, dx=2,du1+u^2
para transformar a integral numa racional em u.

Passo 2

Substituindo sen(x) e dx na integral, obtemos
integral 12+sen(x),dx = integral 2,du1+u^22+2u1+u^2 = integral 2,du2(1+u^2)+2u = integral 2,du2l(u^2+u+1r) = integral duu^2+u+1

Passo 3

Para integrar
integralduu^2+u+1
completamos o quadrado no denominador:
u^2+u+1 = l(u+tfrac12r)^2 + tfrac34

Passo 4

A integral fica
integral dul(u+tfrac12r)^2+(tfracraiz32)^2 = 1tfracraiz32arctan!l(u+tfrac12tfracraiz32r) + C = 2raiz3arctan!l(2u+1raiz3r) + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=tanl(tfracx2r), a primitiva final é
2raiz3,arctan!l(2tan(tfracx2)+1raiz3r) + C

Resposta

integral dx2+sen(x) = 2raiz3,arctan!l(2tan(tfracx2)+1raiz3r) + C

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