Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^+00 n^2 x^n-1(-5)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de potências
sumn=1^inftyn^2,x^n-1(-5)^n
O conteúdo aqui é teste de convergência de série de potências, e vamos usar o critério da razão de d’Alembert e depois examinar os casos de fronteira |x|=5.

Passo 2

Definimos
an = n^2,x^n-1(-5)^n
Aplicando o critério da razão, calculamos
|an+1an| = |(n+1)^2,x^n/(-5)^n+1n^2,x^n-1/(-5)^n| = l(1+1nr)^2,|x|5

Passo 3

Tomando ntoinfty obtemos
limntoinfty|an+1an| = |x|5
Pelo critério da razão, a série converge se |x|5<1 (isto é |x|<5) e diverge se |x|5>1 (isto é |x|>5).

Passo 4

Analisamos agora as fronteiras:
Para x=5:
an=n^2,5^,n-1(-5)^n =n^25,(-1)^n,
cujo termo geral não tende a zero, logo a série diverge.
Para x=-5:
an=n^2,(-5)^,n-1(-5)^n =-n^25,
cujo termo geral também não tende a zero, logo a série diverge.

Resposta

A série converge apenas para |x|<5 (raio de convergência R=5) e diverge para |x|>=5.

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