Resolva o PVI
l y^prime prime+4 y^prime+5 y=35 e^-4 x y(0)=-3 y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y' + 5y = 35e^-4x, y(0)=-3,;y'(0)=1
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem; vamos usar o método de solução geral (homogênea + particular) e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Para a solução homogênea, consideramos a equação
y'' + 4y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 5 = 0
cuja raiz é
r = -2 pm i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 3

Para achar uma solução particular de
y'' + 4y' + 5y = 35e^-4x,
tentar yp = A e^-4x. Então
yp' = -4A e^-4x, yp'' = 16A e^-4x
Substituindo,
16A e^-4x + 4(-4A e^-4x) + 5A e^-4x = l(16A -16A +5Ar)e^-4x = 5A e^-4x
Para isso ser 35e^-4x, precisamos de 5A=35, logo A=7. Assim
yp(x) = 7e^-4x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr) + 7e^-4x

Passo 5

Usar y(0)=-3:
y(0) = C1 + 7 = -3 ;Longrightarrow; C1 = -10

Passo 6

Calculamos y'(x). Primeiro,
yh'(x) = ddxl[e^-2x(C1cos x + C2sin x)r] = e^-2xl[(-2C1 + C2)cos x +(-2C2 - C1)sin xr]
E
yp'(x) = -28e^-4x
Logo
y'(x) = e^-2xl[(-2C1 + C2)cos x +(-2C2 - C1)sin xr] - 28e^-4x
Em x=0 isso dá
y'(0) = (-2C1 + C2) - 28 = 1
Com C1=-10 obtemos
-2(-10) + C2 - 28 = 1 ;Longrightarrow; 20 + C2 - 28 = 1 ;Longrightarrow; C2 = 9

Resposta

boxedy(x) = e^-2xl(-10cos x + 9sin xr) + 7e^-4x

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