Obtenha o conjunto solução das equações modulares:
x+1-|2 x-4|+|5-x|=0

Passo 1

Beleza, o enunciado é:
“Obtenha o conjunto-solução da equação modular
x + 1 ;-; |2x - 4|;+;|5 - x|;=;0,

Isso é sobre equações com valor absoluto. Para resolver, a gente vai usar a definição:
  • |A| = A se A>=0,
  • |A| = -A se A<0.
    Ou seja, precisamos dividir o domínio de x em intervalos onde as expressões 2x-4 e 5-x sejam positivas ou negativas, e aí resolver a equação “sem módulo” em cada caso.

Passo 2

Identificar os pontos críticos onde cada módulo muda de sinal:
  1. 2x - 4 = 0 ;Longrightarrow; x = 2.
  2. 5 - x = 0 ;Longrightarrow; x = 5.
    Então a reta real fica dividida em três intervalos:
    a) x<=2,
    b) 2< x <=5,
    c) x>5.
    Em cada trecho, substituímos |2x-4| e |5-x| pela forma sem módulo correspondente.

Passo 3

Intervalo x<=2:
  • Aqui 2x-4<=0, logo |2x-4| = -(2x-4)=4-2x.
  • E 5-x>=0, logo |5-x|=5-x.
    Substituindo na equação:
x+1 ;-;(4-2x);+;(5-x)=0
Agora é só somar tudo:
x+1-4+2x+5-x = 0 Longrightarrow (x+2x-x)+(1-4+5)=0
2x + 2 = 0 Longrightarrow x = -1
Cheque rápido: -1<=2, então vale.

Passo 4

Intervalo 2< x <=5:
  • Agora 2x-4>0, logo |2x-4| = 2x-4.
  • E ainda 5-x>=0, então |5-x|=5-x.
    A equação fica:
x+1 ;-;(2x-4);+;(5-x)=0
Simplificando:
x+1-2x+4+5-x = 0 Longrightarrow -2x + 10 = 0
-2x = -10 Longrightarrow x = 5
Verifica: 5 está no intervalo 2< x <=5, então ok.

Passo 5

Intervalo x>5:
  • Aqui 2x-4>0, então |2x-4|=2x-4.
  • E 5-x<0, então |5-x|=-(5-x)=x-5.
    A equação vira:
x+1 ;-;(2x-4);+;(x-5)=0
Somando os termos:
x+1-2x+4+x-5 = 0 Longrightarrow 0cdot x +0 = 0
Isso dá identidade 0=0, ou seja, todo x>5 satisfaz a equação.

Resposta

O conjunto-solução é
-1;cup;[5,infty),

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