Obtenha o conjunto solução das equações modulares:
Passo 1
Beleza, o enunciado é:
“Obtenha o conjunto-solução da equação modular
“Obtenha o conjunto-solução da equação modular
”
Isso é sobre equações com valor absoluto. Para resolver, a gente vai usar a definição:
Isso é sobre equações com valor absoluto. Para resolver, a gente vai usar a definição:
-
se , -
se .
Ou seja, precisamos dividir o domínio deem intervalos onde as expressões e sejam positivas ou negativas, e aí resolver a equação “sem módulo” em cada caso.
Passo 2
Identificar os pontos críticos onde cada módulo muda de sinal:
-
. -
.
Então a reta real fica dividida em três intervalos:
a),
b),
c).
Em cada trecho, substituímose pela forma sem módulo correspondente.
Passo 3
Intervalo
:
- Aqui
, logo . - E
, logo .
Substituindo na equação:
Agora é só somar tudo:
Cheque rápido:
, então vale.
Passo 4
Intervalo
:
- Agora
, logo . - E ainda
, então .
A equação fica:
Simplificando:
Verifica:
está no intervalo
, então ok.
Passo 5
Intervalo
:
- Aqui
, então . - E
, então .
A equação vira:
Somando os termos:
Isso dá identidade
, ou seja, todo
satisfaz a equação.
Resposta
O conjunto-solução é