Use coordenadas polares para calcular:
integral duplaR e^-x^2-y^2 d x d y, R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular a integral dupla
integral duplaR e^-x^2-y^2,dx,dy, R=(x,y)mid 1<= x^2+y^2<= 4
usando coordenadas polares. Esse assunto é troca de variáveis em integrais duplas: a gente vai usar
  • a mudança x=rcostheta, y=rsintheta
  • o jacobiano dx,dy = r,dr,dtheta

Passo 2

Primeiro, muda tudo pra polares. Como x^2+y^2=r^2, a função vira e^-r^2 e a área vira r,dr,dtheta.
O domínio 1<= r^2<=4 significa 1<= r<=2, e como não tem restrição em theta, cobrir tudo é 0<=theta<=2pi.
Então a integral fica
integraltheta=0^2pi!!integralr=1^2 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Agora vamos calcular a parte de r:
integral1^2 r,e^-r^2,dr
A técnica é substituição: define u=r^2, daí du=2r,dr ou r,dr=tfrac12,du.
Quando r=1, u=1; quando r=2, u=4.
integral1^2 r,e^-r^2,dr = integralu=1^4 e^-u,12,du = 12integral1^4 e^-udu = 12l[-e^-ur]1^4 = 12l(e^-1-e^-4r)

Passo 4

Falta a parte de theta:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
2pi times 12l(e^-1-e^-4r) = pil(e^-1-e^-4r)

Resposta

boxedpi,(e^-1-e^-4)

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