Use coordenadas polares para calcular:
integral duplaR d x d y2-x^2-y^2, R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaRdx,dy2 - x^2 - y^2
onde R é o disco unitário (x,y)mid x^2+y^2<=1.
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, em que
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
e a região vira 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi.

Passo 2

Em coordenadas polares a integral fica
integral duplaRdx,dy2 - x^2 - y^2 = integral0^2piintegral0^1r2 - r^2,dr,dtheta

Passo 3

Como o integrando se separa, podemos escrever
integral0^2piintegral0^1r2 - r^2,dr,dtheta =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^1r2 - r^2,drr) =2piintegral0^1r2 - r^2,dr

Passo 4

Para calcular integral0^1r2 - r^2,dr faça a substituição
u = 2 - r^2, logo ,du=-2r,dr e r,dr=-tfrac12,du.
Quando r=0, u=2; quando r=1, u=1. Assim,
integral0^1r2 - r^2,dr =integralu=2^1-tfrac12u,du =-12integral2^11u,du =12integral1^21u,du =12ln 2

Passo 5

Voltando, a integral original vale
2picdot12ln 2 = piln 2

Resposta

piln 2

Exercícios relacionados